Respuestas · Ajuste no lineal: valles, valores iniciales y parámetros correlacionados

Es el problema estructural de los ajustes exponenciales: si sólo observaste el principio de la curva, e^−t/τ ≈ 1 − t/τ y los datos son compatibles con una recta. Una recta no distingue entre «τ = 200 s con amplitud grande» y «τ = 2000 s con amplitud diez veces mayor»: los dos dan la misma pendiente inicial. Los parámetros quedan fuertemente degenerados.

La regla práctica es medir al menos 2–3 constantes de tiempo, y preferentemente hasta que la señal esté a un 5 % de su valor asintótico. Movés el deslizador de duración entre 0.7 y 3 τ y se ve el valle cerrarse.

Y la lección de método: la incerteza correcta se lee del valle, no del número que devuelve la rutina. La matriz de covarianza de curve_fit es una aproximación parabólica alrededor del mínimo; cuando el valle es asimétrico o casi plano, esa aproximación puede describir mal la región de confianza. Recorrer χ² a mano y ver dónde cruza χ²_mín+1 permite ver directamente el alcance de la aproximación.

Los datos verdaderos tienden a 21 °C. Una exponencial pura tiende a 0. Para pasar cerca de los puntos finales —que están altos y planos— el ajuste tiene que estirar la curva, es decir aumentar τ. Sobre datos sin ruido con τ = 90 s y T_amb = 21 °C medidos durante 2τ, el ajuste forzado devuelve τ ≈ 165 s: un 84 % de error, y con R² = 0.987.

Ese R² es el dato importante de todo el panel. Un 0.987 en un informe pasa desapercibido, y sin embargo el parámetro físico está mal por un factor casi 2. Los residuos, en cambio, dibujan una estructura en U que permite identificar la discrepancia.

El error tiene un nombre general: omitir un parámetro de nuisance que la física exige. T_amb no es un artificio de ajuste, es la temperatura del aula, y existe. Lo mismo pasa con la masa efectiva del resorte, con la ordenada del péndulo y con el nivel de continua de una señal. En los cuatro casos, dejarlo libre utiliza un grado de libertad y evita transferir el sesgo a los demás parámetros.

El valle en banana significa que la incerteza de τ₁ tomada sola es enorme, la de τ₂ también, y sin embargo hay combinaciones —típicamente el producto, la suma o el área bajo la curva— que están muy bien determinadas. Reportar «τ₁ = 1.0 ± 0.8 s, τ₂ = 3 ± 4 s» es formalmente correcto pero poco informativo, porque oculta que los errores están acoplados: si τ₁ sale alto, τ₂ también.

Tres maneras de comunicar el resultado, en orden de preferencia: (1) mostrar el contorno de confianza conjunta, que es lo que hace el mapa de esta simulación; (2) reportar la combinación que sí está determinada, junto con el coeficiente de correlación entre parámetros extraído de la matriz de covarianza; (3) si la separación es menor que un factor 2, reconocer que los datos no distinguen dos exponenciales y reportar una sola con su τ efectivo, más una cota sobre la segunda componente.

Es exactamente lo que se hace en espectroscopía y en decaimientos: cuando se reportan dos vidas medias cercanas, conviene acompañarlas con la elipse de correlación.