Ajuste no lineal: valles, valores iniciales y parámetros correlacionados

El paisaje de χ², el error de forzar el offset a cero, y por qué dos exponenciales cercanas no se separan.

Cuando el modelo no es lineal en los parámetros, el ajuste deja de tener solución cerrada: hay que buscar el mínimo de χ². Y buscar tiene consecuencias — el resultado puede depender de dónde arrancaste, dos juegos de parámetros muy distintos pueden describir los datos casi igual de bien, y R² deja de significar lo poco que significaba.

1 · El enfriamiento de Newton, y el error clásico

T(t) = T_amb + (T₀ − T_amb)·e^−t/τ. Si forzás T_amb = 0 —es decir, si ajustás una exponencial pura— el ajuste igual "anda", pero τ sale puede converger a parámetros muy alejados de los que describen los datos.

τ verdadero [s]

T ambiente [°C]

Duración de la medición [τ]

Incerteza de T [°C]

Los dos ajustes tienen R² muy parecido y los dos "pasan por los puntos". La diferencia está íntegramente en el gráfico de residuos, y en que uno de los dos τ es el correcto. Ésa es la razón por la que R² no puede usarse para elegir entre modelos.

2 · El paisaje de χ²: por qué a veces el ajuste no converge

Acá está χ²(τ) con los otros parámetros resueltos en cada punto. El mínimo es lo que busca curve_fit; el ancho del valle es la incerteza de τ.

3 · Dos exponenciales: el valle en forma de banana

Ahora el modelo es y = A₁e^−t/τ₁ + A₂e^−t/τ₂. El mapa de χ² en el plano (τ₁, τ₂) no tiene un pozo redondo sino un valle largo y torcido: muchísimas combinaciones dan prácticamente el mismo χ². Los parámetros están correlacionados, y reportarlos por separado con sus barras puede llevar a una interpretación incorrecta.

Separación entre τ₁ y τ₂ (τ₂/τ₁)

Ruido [u.a.]

Con τ₂/τ₁ < 2 el problema está mal condicionado: dos exponenciales parecidas son casi indistinguibles de una sola con un τ intermedio. Es un resultado conocido y duro — separar exponenciales cercanas requiere una relación señal/ruido que en el laboratorio de grado no existe. La respuesta correcta ahí no es un ajuste más astuto, sino reconocer que los datos no alcanzan y reportar una cota.

4 · Cómo cambia R² al agregar parámetros

Al agregar parámetros, R² no puede disminuir, porque el modelo más chico es un caso particular del más grande. Por eso R², por sí solo, no permite comparar modelos con distinta cantidad de parámetros; χ²_red, que divide por los grados de libertad, al menos lo intenta.

Para pensar antes, durante y después de la clase. (a) Con una duración de 0.7 τ, ¿podés determinar τ? Mirá el ancho del valle de χ², no el número que sale. (b) ¿Por qué forzar T_amb = 0 sesga τ hacia arriba y no hacia abajo? (c) En el mapa de dos exponenciales, ¿qué reportarías si el valle es una banana: dos números con barras, o otra cosa?
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