Respuestas · Ajuste ponderado, χ² y promedio ponderado

Si σ_i → k σ_i, entonces χ² = Σ(r_i/kσ_i)² = χ²_orig/k². Para pasar de 4 a 1, k = 2.

Ahora, la interpretación es lo delicado. Multiplicar las barras hasta que χ²_red = 1 es exactamente lo que hace curve_fit con absolute_sigma=False (que es el default), y es legítimo sólo bajo una hipótesis fuerte: que subestimaste tus incertezas en un factor común desconocido y que el modelo es correcto. Si en cambio el χ²_red = 4 viene de que el modelo está mal, inflar las barras oculta el problema, contamina las incertezas de los parámetros y elimina la utilidad de ese diagnóstico: después del reescaleo χ²_red = 1 por construcción, y ya no informa nada.

La regla de trabajo: primero mirar los residuos. Si tienen estructura, el problema es el modelo y el reescaleo oculta esa estructura. Si son aleatorios y χ²_red ≫ 1, probablemente haya una fuente de incerteza que no pusiste en el presupuesto, y conviene identificarla e incorporarla al presupuesto.

χ²_red es un escalar: colapsa toda la información en un número que mide la magnitud del desacuerdo, no su forma. Un χ²_red = 3 con ν = 8 da p ≈ 0.002 y rechazás el modelo — pero no sabés si es curvatura, un outlier, o incertezas mal estimadas, y cada causa requiere un tratamiento diferente. El gráfico de residuos separa los tres casos de un vistazo.

Y puede pasar lo contrario: con curvatura chica y barras generosas, los residuos muestran una tendencia clarísima al ojo mientras χ²_red = 1.2 no rechaza nada. Los dos diagnósticos son complementarios y ninguno reemplaza al otro.

De ahí el orden que sigue el curso, y que conviene usar siempre en la discusión de un informe: (1) compatibilidad con un valor externo, (2) gráfico de residuos, (3) chequeo con un método independiente, (4) χ²_red y p, y, como información complementaria, R² y r.

Con pesos w_i = 1/Δ_i², el promedio ponderado tiene Δ = (Σw_i)^−1/2. Si dos grupos tienen la misma barra Δ₁, el resultado combinado tiene Δ₁/√2: es el mismo hecho que SEM = s/√N, y por la misma razón — cada medición independiente agrega información.

Deja de tener sentido en dos situaciones, y las dos son frecuentes en el laboratorio:

• Sistemático común. Si los quince grupos usan la misma cinta métrica descalibrada, sus errores no son independientes: el promedio reduce el ruido pero no toca el sesgo, y la barra combinada queda progresivamente subestimada.
• Incertezas subestimadas. Se detecta con el χ²_red del propio promedio, Σw_i(x_i − x̄_w)²/(N−1). Si vale mucho más que 1, los datos son inconsistentes entre sí y no corresponde reportar la barra optimista.

Es exactamente lo que hacen las compilaciones internacionales tipo PDG: cuando los experimentos discrepan, inflan la incerteza del promedio por √χ²_red. Es una convención pragmática, no un teorema, y debe declararse explícitamente.