Clase 6 · Labo 1

Ajuste ponderado, χ² reducido y promedio ponderado

Cómo intervienen las incertezas de cada punto en el ajuste.

Hasta acá el ajuste trataba a todos los puntos por igual. Pero si un punto tiene una barra de error diez veces más chica que otro, no vale lo mismo. Tomarse en serio las barras cambia el resultado, cambia su incerteza, y —sobre todo— habilita una pregunta nueva: ¿el modelo describe los datos dentro de sus incertezas?

1 · Pesar o no pesar

Con pesos, cada punto entra con w = 1/σ². Un punto con la mitad de incerteza pesa cuatro veces más. El ajuste sin pesos no está "mal" cuando todas las barras son iguales (ahí coinciden exactamente), pero cuando no lo son, descarta información disponible y la incerteza de la pendiente puede quedar mal estimada.

2 · χ² y χ²red: el modelo contra las barras

χ² = Σ [(yᵢ − f(xᵢ))/σᵢ]² suma los residuos en unidades de barra de error. Si el modelo describe el proceso y las incertezas están bien estimadas, cada término aporta ≈ 1 y χ²red = χ²/ν ≈ 1, con ν = N − (parámetros ajustados).

Tres situaciones para comparar:
χ²red ≈ 1 — el modelo describe los datos dentro de las incertezas.
χ²red ≫ 1 — o el modelo es incompleto (falta física), o subestimaste las incertezas. Los residuos distinguen entre las dos: con estructura, es el modelo; sin estructura, son las barras.
χ²red ≪ 1 — no es un ajuste "mejor que perfecto": es la firma de incertezas sobreestimadas. Ojo, la convención conservadora Δ = D/2 produce exactamente esto.

3 · Qué hace absolute_sigma=False

Es el valor por omisión de scipy.optimize.curve_fit y conviene entender su efecto antes de interpretar la matriz de covarianza.

Con absolute_sigma=False, scipy reescala la matriz de covarianza por χ²red, es decir supone que tus barras están bien salvo un factor global y lo absorbe. Consecuencia doble: (1) las incertezas de los parámetros ya no son las que corresponden a tus incertezas experimentales, y (2) perdés simultáneamente el diagnóstico, porque el ajuste queda "forzado" a χ²red = 1 por construcción. Si tus σ son incertezas físicas de verdad, la llamada correcta es curve_fit(f, x, y, sigma=sy, absolute_sigma=True).

4 · El promedio ponderado no es una receta aparte

Ajustar el modelo más simple posible —una constante, y = c— con pesos 1/σᵢ² da exactamente c = Σwᵢyᵢ/Σwᵢ con Δc = 1/√Σwᵢ. El promedio ponderado es un ajuste por cuadrados mínimos ponderados; no hay que aprenderlo como fórmula suelta.

Para pensar antes de la clase. (a) ¿Cuánto tiene que valer la escala de incertezas para que χ²red pase de 4 a 1? (b) Con curvatura 0.5, ¿χ²red te avisa? ¿Y los residuos? (c) En el promedio ponderado, ¿puede la incerteza del resultado ser menor que la del mejor grupo individual? ¿Tiene sentido?