Respuestas · El experimento del péndulo: de T y L a g

T(θ₀) = T₀(1 + θ₀²/16 + …) con θ₀ en radianes. Para 30° = 0.5236 rad el factor es 1.01741, así que g_ap = g/(1.01741)² = 0.9661 g: de 9.797 a 9.465, un corrimiento de −0.33 m/s², decenas de veces mayor que la incerteza estadística típica del experimento.

Lo pedagógicamente importante es por qué es invisible. El sesgo es multiplicativo y afecta a todas las longitudes por igual: T² sigue siendo estrictamente proporcional a L, la recta sigue pasando por el origen, los residuos siguen sin estructura y todos los indicadores internos del ajuste dicen que todo está perfecto. Sólo la pendiente está mal.

Ésta es la moraleja central del bloque: ningún diagnóstico interno del ajuste detecta un sistemático que escala con la variable independiente. Se detecta de dos maneras, las dos externas: comparando con un valor independiente (test z contra 9.797) o variando deliberadamente el parámetro sospechado — medir con θ₀ = 5° y con θ₀ = 30° y ver si g se mueve.

Un error constante en L no toca la pendiente: la desplaza. Ése es el motivo por el que el ajuste tiene que hacerse con ordenada libre y nunca forzando por el origen. Forzar por el origen no sólo esconde el sistemático: lo transfiere a la pendiente y contamina g.

El procedimiento correcto es testear la ordenada contra cero: z = |a|/Δa. Si z > 2–3, hay un offset físico que buscar, y las sospechas habituales son geométricas: se midió desde el soporte y no desde el eje de giro, o hasta el borde de la esfera y no hasta su centro, o el nudo agrega longitud. Con L ≈ 0.8 m y ΔL = 1 mm, un δ de 2 cm da un z gigantesco: es detectable sin esfuerzo.

Contraste útil: si el error fuera proporcional (una cinta métrica mal graduada, que mide 1 % de más en todo el rango), la ordenada seguiría siendo compatible con cero y el ajuste interno no permitiría detectarlo. Ese caso sólo se detecta contra un patrón externo.

La incerteza de la pendiente en un ajuste lineal es

Δb = σ_y / √( Σ(L_i − L̄)² )

y ese denominador crece con el rango de L mucho más rápido que con el número de mediciones en un mismo punto. Con 42 mediciones totales, repartirlas en 14 longitudes bien separadas maximiza Σ(L − L̄)² y de paso deja ν = 12 grados de libertad para el test de bondad de ajuste, contra ν = 4 en el otro reparto. Con ν = 4, un χ² tiene tan poco poder que casi cualquier modelo pasa.

La excepción: si medís con cronómetro a mano, no conocés σ_T a priori y necesitás repeticiones (≥ 5 por punto) para estimarla. Con photogate la incerteza está dominada por la resolución y es conocida; tres repeticiones alcanzan para verificar que no hay sorpresas. Un compromiso razonable para el laboratorio real, y el que trae la simulación por defecto, es 10 longitudes espaciadas en escala logarítmica, con 3–5 repeticiones. Log y no lineal, para que los puntos se repartan parejo cuando lo que se grafica es T² vs L.

De T = 2π√(L/g) sale T² = (4π²/g)L. Las tres ventajas son:

• Ajuste con solución cerrada y expresiones exactas para Δa y Δb, sin iteración ni valores iniciales.
• El ojo juzga rectas mucho mejor que curvas. Una desviación del modelo aparece como curvatura sobre una referencia recta, que es el patrón que mejor detecta el sistema visual humano.
• El offset de L se separa en la ordenada, como vimos arriba.

La precaución: al elevar al cuadrado hay que propagar, Δ(T²) = 2T·ΔT. Las barras crecen con L, así que el ajuste correcto es ponderado — que es justamente el tema del bloque siguiente. Un ajuste ordinario sobre datos linealizados con barras desiguales da la pendiente aproximadamente bien pero la incerteza mal.

La alternativa moderna es ajustar directamente T = a√(L − δ) por cuadrados mínimos no lineales, sin transformar nada. Es más limpio conceptualmente y se ve más adelante; para el informe de esta clase, la linealización es lo que se pide porque hace visible el razonamiento.