Respuestas · Promedios, TCL y SEM

La asimetría del promedio decae como γ₁/√N, donde γ₁ es la asimetría de la distribución madre. La distribución de tiempos de reacción de la simulación tiene γ₁ ≈ 1.5: con N = 5 queda ≈ 0.67 (visible), con N = 50 queda ≈ 0.21 (imperceptible con unos miles de realizaciones).

Lo que conviene retener es que la aproximación del TCL suele ser mejor en el centro que en las colas. Para el 95 % central, N ≈ 10–30 puede resultar suficiente para algunas distribuciones con asimetría moderada; para probabilidades de 10⁻⁴ puede hacer falta un N enorme. Consecuencia práctica: usar z o t sobre el promedio es razonable con N ≳ 10 aunque tus mediciones individuales no sean gaussianas. La distribución de las mediciones individuales no cambia de forma por aumentar el tamaño de cada muestra: si tenés que decir «el 68 % de mis mediciones cae dentro de ±s», eso requiere que la madre sea normal, y con tiempos de reacción no lo es.

Las dos cantidades responden preguntas diferentes y conviene distinguirlas:

• s (con ddof = 1) describe cuánto se dispersan tus mediciones. Es una propiedad del proceso: no baja al medir más. Si querés predecir cuánto va a dar la próxima medición, usás s.
• SEM = s/√N describe cuánto puede estar corrido tu promedio respecto de μ. Es lo que va en el resultado.

Dos advertencias. Primero, 3 ms puede ser menor que la resolución de tu cronómetro o que tus sistemáticos (anticipación del operador, del orden de decenas de ms): en ese caso el resultado no está limitado por la estadística y reportar solamente ±3 ms describiría de manera incompleta la incerteza. La incerteza final es la combinación en cuadratura de todas las fuentes, y hay que decir cuál domina. Segundo, con N = 100 el propio s está determinado a ≈ 1/√(2·99) = 7 %, así que la estimación de 3 ms resulta razonablemente estable — con N = 4 no lo sería, y ahí corresponde el factor de Student.

Hay que separar dos efectos de la cuantización. Si las mediciones se reparten sobre varias divisiones (es decir, si el ruido es mayor que la resolución D), el error de cuantización se comporta como ruido de desvío D/√12 y promediar lo reduce como 1/√N igual que todo lo demás. Ese es el fenómeno de dithering, y es real: se puede medir por debajo de la resolución nominal si hay ruido suficiente.

Pero si el instrumento trunca en vez de redondear, aparece un sesgo de D/2 común en las N mediciones, y el promedio lo conserva entero. Lo mismo pasa con el tiempo de reacción humano: arrancar y frenar un cronómetro introduce un desplazamiento de 150–250 ms que es aproximadamente común a las repeticiones. Por eso en el péndulo se cronometran N períodos de una sola vez: el sesgo de reacción se divide por N sin necesidad de repetir nada. Es una de las pocas situaciones donde un cambio de protocolo, y no más mediciones, reduce un sistemático.