Clase 3 · Labo 1

Promedios, teorema central del límite y SEM

Cuántas veces conviene medir, y qué incerteza le corresponde a un promedio.

Medimos muchas veces y promediamos. ¿Por qué? Y sobre todo: qué número reportamos como incerteza, la dispersión de las mediciones o la del promedio. Son dos dispersiones diferentes y cada una responde una pregunta distinta.

1 · La población: de dónde salen los datos

Elegí una distribución "madre". La de tiempos de reacción es la que vas a medir en clase: está torcida hacia la derecha, porque uno puede tardar mucho de más pero no puede tardar arbitrariamente de menos.

una medición individual   promedio de N mediciones   gaussiana de referencia

El histograma de la izquierda representa las mediciones individuales. El de la derecha representa los promedios de grupos de N mediciones: al aumentar N, suele volverse más simétrico y más angosto. El promedio es una nueva variable aleatoria y tiene su propia distribución.

2 · s no es la incerteza del promedio

Dos preguntas distintas. s estima cuánto dispersan las mediciones individuales. La SEM = s/√N estima la incerteza estadística del promedio y disminuye como 1/√N. En el informe conviene indicar con claridad cuál de las dos cantidades se está usando. Pasar de N = 4 a N = 16 reduce la SEM a la mitad; pasar de 16 a 64 vuelve a reducirla a la mitad. Un sesgo instrumental, en cambio, no desaparece al promediar.

3 · Por qué ddof=1

Como s se calcula alrededor del promedio de la propia muestra (y no alrededor de μ, que no conocés), la suma de cuadrados sale sistemáticamente chica. Dividir por N−1 en vez de N corrige exactamente ese sesgo. Con N grande casi no importa; con N = 3 o 5, importa mucho.

En Python: np.std(x) usa ddof=0 por defecto y por lo tanto subestima. Para estimar la desviación estándar poblacional a partir de una muestra usamos np.std(x, ddof=1) o statistics.stdev.
Para pensar antes de la clase. (a) Con la distribución de tiempos de reacción y N = 5, ¿el histograma de promedios ya es simétrico? ¿Y con N = 50? (b) Si tu s vale 30 ms y medís 100 veces, ¿cuál es tu incerteza estadística? (c) ¿Qué hace la resolución del cronómetro que no arregla aumentar N?