Derivar datos ruidosos y evaluar alternativas

Amplificación del ruido, suavizado local, el compromiso sesgo–varianza y la alternativa.

Tenés x(t) medido y querés v(t). Parece una resta y una división. Es la operación más peligrosa del análisis de datos: derivar amplifica el ruido, y el efecto aumenta cuando se reduce el paso entre datos. Suavizar lo arregla — a cambio de introducir un sesgo. Toda la técnica consiste en elegir dónde pararse entre las dos cosas.

1 · Los datos

Movimiento

Frecuencia de muestreo [Hz]

Ruido de posición σ_x [mm]

2 · Derivar: el ruido explota como 1/Δt

Con diferencia centrada de paso m, v_i = (x_i+m − x_i−m)/(2mΔt), la incerteza es σ_v = σ_x/(√2 · m Δt). Con Δt = 5 ms y σ_x = 2 mm y m = 1, eso ya son 28 cm/s de ruido sobre una velocidad de unos pocos m/s.

Paso de la diferencia centrada, m

Ventana del ajuste local cuadrático (puntos)

v verdadera diferencia centrada ajuste local cuadrático (Savitzky–Golay)

Las dos curvas tienen el mismo alcance temporal cuando m = (w−1)/2, y sin embargo el ajuste local es más preciso: la diferencia centrada usa dos puntos y tira los demás. La mejora en σ es exactamente un factor √[(m+1)(2m+1)/(6m)]: con m = 5 son 1.48 veces, y con m = 20, 2.68.

3 · Sesgo contra varianza: hay un óptimo, y se puede calcular

Ensanchar la ventana baja el ruido como 1/w^3/2 pero aplana la curvatura real de la señal, introduciendo un sesgo que crece como w². El error total tiene un mínimo.

4 · Una alternativa: ajustar el modelo antes de derivar

Si tenés un modelo para x(t), ajustalo a los datos crudos y derivá la función ajustada. Así evitamos amplificar el ruido mediante diferencias entre datos vecinos.

Regla operativa: derivar numéricamente es el último recurso, para cuando no tenés modelo. Si lo tenés, ajustá x(t) y derivá el modelo. Si no lo tenés y necesitás v(t) para explorar, usá ajuste local (Savitzky–Golay) y reportá la ventana que usaste: sin ese dato, tu curva de velocidad no es reproducible.

Para pensar antes, durante y después de la clase. (a) Con la oscilación, subí la ventana hasta 101 puntos: ¿qué le pasa a la amplitud de v(t)? ¿Es ruido o es sesgo? (b) Si duplicás f_s manteniendo m = 1, ¿el ruido de la derivada aumenta o disminuye? (c) ¿Por qué el ajuste del modelo da una incerteza tan chica comparado con cualquier derivada numérica?
Respuestas comentadas →