θ(t), tensión, energía y la corrección por amplitud que aparece cuando medís bien.
La pregunta de la Clase 4 es de qué depende el período de un péndulo. Antes de tocar un
cronómetro conviene tener claro qué predice la física, y sobre todo hasta dónde lo predice.
Acá el péndulo se integra numéricamente sin ninguna aproximación: la ecuación es
θ¨ = −(g/L)·sen θ − b·θ˙.
1 · El péndulo, en vivo
Movés la masa y el período no se mueve: la masa se cancela entre la inercia y el peso. Movés
la amplitud y el período sí cambia, aunque poco para ángulos chicos. Ese es el contenido
físico de T = 2π√(L/g): una ley que no depende ni de la masa ni (a primer orden) de la amplitud.
2 · Hasta dónde vale la aproximación de ángulo chico
El período exacto es T = T₀ · (2/π)·K(sen(θ₀/2)), con K la integral elíptica completa. Su
desarrollo empieza en T ≈ T₀(1 + θ₀²/16 + ...). La curva es la corrección relativa exacta.
A 15° la corrección vale 0.43 %. Si medís 20 períodos con un photogate, tu incerteza relativa en T
puede ser mucho menor que eso: la corrección por amplitud puede pasar a dominar la incerteza. Dos estrategias posibles son: soltar siempre desde el mismo ángulo pequeño y declararlo, o
corregir por amplitud. Cuando la precisión permite detectarlo, conviene incluirlo en el modelo o acotarlo experimentalmente.
3 · Consecuencias del análisis dimensional
Con L, g, m y θ₀ como únicas variables, lo único que puede armar un tiempo es √(L/g). Por lo tanto
T = √(L/g)·f(θ₀), con f adimensional. El análisis dimensional no da f, pero ya prohíbe que la
masa entre y obliga a que T ∝ √L a amplitud fija.
Para pensar antes de la clase. (a) Con b > 0 la amplitud decae: ¿el período cambia mucho?
¿Y la corrección por amplitud a lo largo de la medición? (b) ¿Qué le pasa a la tensión máxima cuando
θ₀ pasa de 10° a 90°? ¿Aguantaría el hilo? (c) Si medís T y L, ¿cómo despejás g y qué incerteza
tiene?