De dónde sale la fórmula de propagación, y qué variable conviene medir mejor.
Casi nada de lo que nos interesa se mide directamente: la densidad, la velocidad, g, la
viscosidad, todas son mediciones indirectas. La pregunta de esta página es doble: de dónde
sale la fórmula de propagación, y qué hacer con el número que da.
1 · De dónde sale la fórmula: la función, vista de cerca
Si y = f(x) y x fluctúa poco alrededor de x₀, la función es indistinguible de su recta
tangente en esa vecindad. Entonces la fluctuación de y es la de x multiplicada por la
pendiente: Δy = |f′(x₀)| Δx. Todo el resto de la propagación es esta idea, más el teorema de
Pitágoras cuando hay varias variables independientes.
Subí Δx hasta que la campana de la derecha se deforme. Ahí ves la hipótesis escondida en la
fórmula: "incertezas chicas frente a la escala en que la función se curva". Con Δx grande, la
propagación de primer orden deja de valer y el resultado ni siquiera es simétrico.
2 · El cilindro: presupuesto de incertezas
Medimos masa m, diámetro D y altura h de un cilindro y queremos su densidad
ρ = 4m/(π D² h). Movés los valores y las incertezas y identificás qué contribución domina.
Las incertezas relativas se suman en cuadratura y cada una entra pesada por el exponente de
su variable: el diámetro aparece al cuadrado, así que su incerteza relativa cuenta doble.
Consecuencia práctica: si querés mejorar el resultado, no midas la masa con más cuidado —
medí mejor el diámetro. La cuadratura además perdona: un término tres veces menor que el
dominante aporta apenas un 5 % al total.
3 · ¿De qué material está hecho?
Para pensar antes de la clase. (a) Poné ΔD = 0.05 cm (regla) y después 0.003 cm (calibre):
¿con cuál de los dos instrumentos podés decidir el material, y con cuál la respuesta es
"es ambiguo"? (b) Si pudieras mejorar la medición de una variable, ¿cuál elegirías?
(c) ¿Qué pasa con la fórmula si medís D y h con el mismo calibre y el calibre está descalibrado?